Stefan-Boltzmann-lova

Stefan–Boltzmann-lova, òg kalla Stefanlova, seier at den totale energien som vert strålt ut frå ein svartlekam per areal, j*, er direkte proporsjonal til fjerdepotensen av den termodynamiske temperaturenT (òg kalla absolutt temperatur) til svartlekamen:

j=σT4.{displaystyle j^{star }=sigma T^{4}.}

Graf av ein funksjon for totalt utstrålt energi frå ein svartlekam

j{displaystyle j^{star }}

proporsjonal til den termodynamiske temperaturen

T{displaystyle T,}

. I turkis er den totale energien i følgje wientilnærming,

jW=j/ζ(4)0.924σT4{displaystyle j_{W}^{star }=j^{star }/zeta (4)approx 0.924,sigma T^{4}!,}

Eit meir generelt tilfelle er ein grå lekam, ein som ikkje fullstendig absorberer eller emitterer heile strålingsfluksen. I staden for vert det stråla ut delar av fluksen, styrt av emissiviteten,

ε{displaystyle varepsilon }

:

j=εσT4.{displaystyle j^{star }=varepsilon sigma T^{4}.}

Irradiansen j* har dimensjonane til energifluksen (energi per tid per areal) og SI-einingane er joule per sekund per kvadratmeter, eller watt per kvadratmeter. SI-eininga for absolutt temperatur T er kelvin.

ε{displaystyle varepsilon }

er emissiviteten til ein grå lekam. Om han er ein perfekt svart lekam er

ε=1{displaystyle varepsilon =1}

. I eit meir generelt (og realistisk) tilfelle, er emissiviteten avhengig av bølgjelengda,

ε=ε(λ){displaystyle varepsilon =varepsilon (lambda )}

, til strålinga.

For å finne den totale absolutte effekten til energien strålt ut frå ein lekam, må ein ta omsyn til overflatearealet, A (i m²):

P=Aj=AεσT4.{displaystyle P=Aj^{star }=Avarepsilon sigma T^{4}.}

Proporsjonalitetskonstanten σ er Stefan–Boltzmann-konstanten og er ikkje-universell på den måten at han er utleidd frå andre konstantar. Verdien til konstanten er

σ=2π5k415c2h3=5.670400×108J,s1m2K4{displaystyle sigma ={frac {2pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400times 10^{-8}{textrm {J,s}}^{-1}{textrm {m}}^{-2}{textrm {K}}^{-4}}

der k er boltzmannkonstanten, h er planckkonstanten og c er lysfarten i vakuum. Så ved 100 K er energiflukstettleiken 5,67 W/m2, ved 1000 K 56 700 W/m2, etc.

Lova vart utleia av Jožef Stefan (1835-1893) i 1879 basert på målingar gjort av John Tyndall. Dei teoretiske omsyna vart ved hjelp av termodynamikken utleidd av Ludwig Boltzmann (1844-1906) i 1884. Boltzmann såg på ein viss ideell varmemaskin med lys som materie i staden for gass. Lova gjeld berre for ideelle svartlekamar, som er perfekte strålingslekamar. Stefan publiserte lova i artikkelen Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Om forholdet mellom varmestråling og temperatur) i Bulletins from the sessions hos Wien Vitskapsakademi.

. . . Stefan-Boltzmann-lova . . .

Lova kan utleiast ved å sjå på ei lita flat svartlekamflate som stråler ut i ein halvsfære. Denne utleiinga nytta sfæriske koordinatar med φ som senitvinkel og θ som asmiutvinkel. Den vesle flata ligg i xy-planet, der φ = π/2.

Lysintensiteten som vert emittert frå svartlekam flata er gjeven av plancklova :

I(ν,T)=2hν3c21ehνkT1.{displaystyle I(nu ,T)={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}.}

der

Storleiken

I(ν,T) A dν dΩ{displaystyle I(nu ,T)~A~dnu ~dOmega }

er effekten strålt av ei flate med areal A gjennom ein romvinkel i frekvensområdet

(ν,ν+dν){displaystyle left(nu ,nu +dnu right),}

.

Stefan–Boltzmann-lova gjev at effekten emittert ut av per areal frå ein emitterande lekam er

PA=0I(ν,T)dνdΩ{displaystyle {frac {P}{A}}=int _{0}^{infty }I(nu ,T)dnu int dOmega ,}

For å kome fram til Stefan–Boltzmann-lova må ein integrere Ω over halvsfæren og integrere ν frå 0 til ∞ (uendeleg). I tillegg, på grunn av Lambert si cosiunuslov, vil intensiteten observert langs sfæren vere den faktiske intensiteten gangar cosinus til senitvinkelen φ og i sfæriske koordinatar = sin(φ) dφ dθ.

PA{displaystyle {frac {P}{A}}}

=0I(ν,T)dν02πdθ0π/2cosϕsinϕdϕ{displaystyle =int _{0}^{infty }I(nu ,T)dnu int _{0}^{2pi }dtheta int _{0}^{pi /2}cos phi sin phi dphi ,}

=π0I(ν,T)dν{displaystyle =pi int _{0}^{infty }I(nu ,T)dnu ,}

Så set vi inn for I:

PA=2πhc20ν3ehνkT1dν{displaystyle {frac {P}{A}}={frac {2pi h}{c^{2}}}int _{0}^{infty }{frac {nu ^{3}}{e^{frac {hnu }{kT}}-1}}dnu ,}

For å gjere dette integralet må ein erstatte,

u=hνkT{displaystyle u={frac {hnu }{kT}},}

du=hkTdν{displaystyle du={frac {h}{kT}}dnu ,}

som gjev:

PA=2πhc2(kTh)40u3eu1du.{displaystyle {frac {P}{A}}={frac {2pi h}{c^{2}}}left({frac {kT}{h}}right)^{4}int _{0}^{infty }{frac {u^{3}}{e^{u}-1}}du.}

Integralet på høgresida kan gjerast på fleire måtar og svaret vert π4/15, og for ei perfekt svartlekamflate:

j=σT4 ,  σ=2π5k415c2h3.{displaystyle j^{star }=sigma T^{4}~,~~sigma ={frac {2pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}.}

Ei alternativ form av Stefan–Boltzmann-konstantne, meir grunnlegganden i fysikken:

σ=π2k4603c2{displaystyle sigma ={frac {pi ^{2}k^{4}}{60hbar ^{3}c^{2}}}}

Dette beviset starta med at ein berre såg på ei lita flate. Differensierbare flater kan tilnærmast av mange små flater. Så lenge geometrien til flata ikkje fører til at svartlekamen absorberer si eiga stråling, vil den totale energien strålt ut vere summen av energiane strålt ut av kvar flate. Dette gjeld berre når temperaturen er jamn over heile flata.

. . . Stefan-Boltzmann-lova . . .

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under “Creative Commons – Attribution – Sharealike” [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the “GNU Free Documentation License” [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages . Web links: [1] [2]

. . . Stefan-Boltzmann-lova . . .

Previous post Hjarte
Next post Lou Marini