Classe C di una funzione

In analisi matematica, la classe

C{displaystyle C}

di una funzionedi variabile reale indica l’appartenenza della stessa all’insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme

A{displaystyle A}

è di classe

Ck{displaystyle C^{k}}

se in

A{displaystyle A}

esistono tutte le derivate fino al

k{displaystyle k}

-esimo ordine, e la

k{displaystyle k}

-esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe

C0{displaystyle C^{0}}

). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime

k{displaystyle k}

derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.

La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio

C1(R){displaystyle C^{1}(mathbb {R} )}

delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio

C0(R){displaystyle C^{0}(mathbb {R} )}

delle funzioni continue. In generale,

Ck{displaystyle C^{k}}

è contenuto in

Ck1{displaystyle C^{k-1}}

per ogni

k{displaystyle k}

.

Di particolare importanza è l’insieme

C{displaystyle C^{infty }}

delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l’insieme

Cω{displaystyle C^{omega }}

delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.

. . . Classe C di una funzione . . .

Sia

A{displaystyle A}

un sottoinsieme aperto di

Rm{displaystyle mathbb {R} ^{m}}

e

kN{displaystyle kin mathbb {N} }

. Una funzione di variabile reale

f:ARn{displaystyle f:Arightarrow mathbb {R} ^{n}}

si dice di classe

Ck{displaystyle C^{k}}

se in ogni punto di

A{displaystyle A}

esistono tutte le derivate parziali di

f{displaystyle f}

fino al

k{displaystyle k}

-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L’insieme delle funzioni di classe

Ck{displaystyle C^{k}}

da

A{displaystyle A}

in

Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

si indica generalmente con

Ck(A,Rn){displaystyle C^{k}(A,mathbb {R} ^{n})}

; inoltre, è consuetudine porre anche

Ck(A):=Ck(A,R){displaystyle C^{k}(A):=C^{k}(A,mathbb {R} )}

. Se

k>0{displaystyle k>0}

, si ha perciò che

fCk(A,Rn){displaystyle fin C^{k}(A,mathbb {R} ^{n})}

se e solo se

fixrCk1(A)r=1,,m,i=1,,n,{displaystyle {frac {partial f_{i}}{partial x_{r}}}in C^{k-1}(A)qquad forall r=1,ldots ,m,quad forall i=1,ldots ,n,}

dove

fi{displaystyle f_{i}}

indica la proiezione di

f{displaystyle f}

sulla

i{displaystyle i}

-esima componente: formalmente, se per ogni

i=1,,n{displaystyle i=1,ldots ,n}

poniamo

πi:RnRa:=(a1,,an)ai{displaystyle qquad {begin{array}{ccccc}pi _{i}&:&mathbb {R} ^{n}&rightarrow &mathbb {R} \&&a:=(a_{1},ldots ,a_{n})&mapsto &a_{i}end{array}}}

,

si ha

fi:=πif{displaystyle f_{i}:=pi _{i}circ f}

.

Inoltre, per la convenzione secondo cui l’unica derivata parziale di

f{displaystyle f}

di ordine

0{displaystyle 0}

è

f{displaystyle f}

stessa, segue direttamente dalla definizione che

fC0(A,Rn){displaystyle fin C^{0}(A,mathbb {R} ^{n})}

se e solo se

f{displaystyle f}

è continua. Chiaramente, per ogni

kN{displaystyle kin mathbb {N} }

risulta

Ck+1(A,Rn)Ck(A,Rn){displaystyle C^{k+1}(A,mathbb {R} ^{n})subseteq C^{k}(A,mathbb {R} ^{n})}

.

Una funzione

f:ARn{displaystyle f:Arightarrow mathbb {R} ^{n}}

si dice poi di classe

C{displaystyle C^{infty }}

(o liscia) se in ogni punto di

A{displaystyle A}

esistono tutte le derivate parziali di

f{displaystyle f}

di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole,

f{displaystyle f}

è liscia se e solo se

fCk(A,Rn){displaystyle fin C^{k}(A,mathbb {R} ^{n})}

per ogni

kN{displaystyle kin mathbb {N} }

. L’insieme delle funzioni lisce da

A{displaystyle A}

in

Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

si indica generalmente con

C(A,Rn){displaystyle C^{infty }(A,mathbb {R} ^{n})}

. Evidentemente si ha

C(A,Rn)=kNCk(A,Rn){displaystyle C^{infty }(A,mathbb {R} ^{n})=bigcap _{kin mathbb {N} }C^{k}(A,mathbb {R} ^{n})}

.

Una funzione liscia

fC(A,Rn){displaystyle fin C^{infty }(A,mathbb {R} ^{n})}

si dice di classe

Cω{displaystyle C^{omega }}

(o analitica) se per ogni

x0A{displaystyle x_{0}in A}

esiste un intorno

U(x0)A{displaystyle U(x_{0})subseteq A}

di

x0{displaystyle x_{0}}

in

A{displaystyle A}

tale che

f(x)=Tf,x0(x){displaystyle f(x)=T_{f,x_{0}}(x)}

per ogni

xU(x0){displaystyle xin U(x_{0})}

, ove

Tf,x0{displaystyle T_{f,x_{0}}}

denota lo sviluppo di Taylor di

f{displaystyle f}

centrato in

x0{displaystyle x_{0}}

. L’insieme delle funzioni analitiche da

A{displaystyle A}

in

Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

si indica con

Cω(A,Rn){displaystyle C^{omega }(A,mathbb {R} ^{n})}

.

È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

. . . Classe C di una funzione . . .

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